Définissabilité dans les Corps de Fonctions p-Adiques

We study function fields over p-adically closed fields in the first-order language of fields. Using ideas of Duret [D], we show that the field of constants is definable, and that the genus is an elementary property. ?0. Introduction. Soit p un nombre premier fixed. Un corps p-adiquement clos est un corps elementairement equivalent au corps des nombres p-adiques, Qp. Le langage des corps sera le langage constitute de deux constantes 0 et 1, et de deux fonctions de deux variables + et *. Nous allons nous interesser aux proprietes elementaires des corps de fonctions sur un corps p-adiquement clos, en utilisant des idees de [D]. On montre que le corps des constantes est definissable, et que le genre est une notion du premier ordre. Nous appellerons corps de fonctions sur un corps p-adiquement clos k, un corps K finiment engendre sur k et tel que k soit relativement algebriquement clos dans K. Donc K est une extension reguliere de k, et un polynome a coefficients dans k absolument irreductible est aussi absolument irreductible sur K. Nous appellerons corps de courbe sur k un corps de fonctions de degree de transcendence 1 sur k. Pour la definition de T(K, k), (F0) et (Fl), on se reporter 'a [D,4,5,6]. ?1. Definition du corps des constantes. On montre qu'un corps p-adiquement clos est definissable dans tous ses corps de fonctions, la definition pouvant varier selon le corps de fonctions. La demonstration repose sur le travail de [D] et le fait que dans tout corps p-adiquement clos, et pour tout entier naturel n, le sous-groupe multiplicatif k des puissances n-iemes est d'indice fini avec des representants des translates parmi les entiers naturels (voir, par exemple, [H, chap. 15, p. 231] ou [B, lemme 5]). Plus precisement, soit k un corps p-adiquement clos et k son groupe multiplicatif. LEMME 1. Etant donned un entier naturel n > 2, il existe des entiers naturels e1,. . . ,er tels que k = k 0 elk 0 ... 0 erk n. LEMME 2. Soit K un corps de fonctions sur k, et e un entier naturel, e ? 2. II existe un entier naturel F(K, k) tel que si n est un entier naturel satisfaisant a' 2 (n 1)(n 2) > T(K, k), alors on a: (Vx, x2 e K)(eXn + xn = e X* 1, X2 E k). Received April 4, 1990. ? 1991, Association for Symbolic Logic 0022-4812/91/5603-0002/$01.30